Analysis I-III Mitschrift
In meinen ersten 3 Semestern habe ich bei
Professor Steinmetz die Vorlesungen Analysis I bis III gehöt.
Meine Mitschriften habe ich damals in LaTeX gesetzt.
Dieses Skript ist aus meinen persönlichen Mitschriften in den
Vorlesungen Analysis I bis Analysis III vom Wintersemester 1993/94 bis
zum Wintersemester 1994/95 bei
Professor Steinmetz entstanden. Ich habe mir große Mühe
gegeben, alles richtig wiederzugeben. Dennoch gebe ich keine Garantie,
daß hier alle Sachverhalte richtig wiedergegeben werden. Ebenfalls
übernehme ich keine Haftung für eventuelle Schäen, die
durch die Benutzung dieses Skriptes entstanden sind oder entstehen
werden (Klausuren und Prüfungen!).
Für einen freundlichen Hinweis über Fehler oder
Verbesserungsvorschläge bin ich jederzeit dankbar. Dabei sollte
jedesmal die Version des entsprechenden Kapitels mit angegeben werden,
die jeweils in einer Fußote auf der ersten Seite aller Kapitel
steht. Die verbesserten Versionen werde ich wieder an dieser
Stelle zur Verfügung stellen.
Dieses Skript darf nur umsonst bzw. zum Selbstkostenpreis weitergegeben
werden. Es ist weder eine offizielle noch eine authorisierte Version
von Prof. Steinmetz. Deshalb ist bei Fehlern zuerst davon auszugehen,
daß sie von mir stammen.
Das komplette Skript ist als PDF-Datei erhältlich.
TeX-Sourcen oder DVI-Versionen des
Skriptes werde ich nicht veröffentlichen.
In der Kapitelübersicht sind auch die einzelnen Kapitel als PDF-Datei erhältlich.
Um eine ungefähre Vorstellung von der Verbreitung des
Skriptes zu haben, bitte ich darum, mir beim Download eine
kurze Nachricht (per Email an: analysis (at) tleine (dot) de)
zukommen zu lassen.
Kapitelübersicht
Die einzelnen Kapitel haben im Moment jeweils folgende Version
Kapitelinhalte
(im Aufbau)
-
Kapitel 0: Mathematische Notationen
- 0.1 Mengen
- 0.1.1 Naive Mengendefinition
- 0.1.2 Mengenschreibweisen
- 0.1.3 Mengenrelationen
- 0.1.4 Mengenoperationen
- 0.2 Abbildungen
- 0.2.1 Naive Abbildungsdefinition
- 0.2.2 Graph von f
- 0.2.3 Komposition
- 0.2.4 Definitions- und Wertebereich
- 0.2.5 Bild und Urbild
- 0.2.6 injektiv, surjektiv, bijektiv
- 0.2.7 Umkehrfunktion
- 0.3 Elementare Logik
-
Kapitel 1: Die reellen Zahlen
- 1.1 Der Körper R
- 1.1.1 Definition R
- 1.1.2 Bemerkungen
- 1.2 Anordnung von R
- 1.2.1 Definition
- 1.2.2 Bemerkunge
- 1.2.3 Regeln
- 1.3 Die Vollständigkeit von R
- 1.3.1 Definition
- 1.3.2 Bemerkung
- 1.3.3 Beispiel
- 1.3.4 Vollständigkeitsaxiom
- 1.3.5 Beispiel
- 1.3.6 Existenz des Infimums
- 1.3.7 Archimedische Eigenschaft
- 1.3.8 Folgerung
- 1.3.9 Satz
- 1.3.10 Satz
- 1.4 Absolutbetrag
- Definition
- Dreiecksungleichung
- Intervalle
- Bemerkung
- Definiton
- Satz
- Erweiterungsmöglichkeiten
- 1.5 Vollständige Induktion
- Induktionsprinzip
- Beispiel
- Induktive Definition von Summe und Produkt
- Binomialkoeffizienten
- Pascalsches Dreieck
- Binomischer Lehrsatz
- Nachtrag
- Bernoullische Ungleichung
- 1.6 Wurzeln
- Beispiel
- Satz
- Fundamentaler Schluß der Analysis
- Bemerkung
- Nachtrag
- Allgemeine Potenz
- Regeln für Potenzen
- Ungleichung zwischen dem arithmetischen und geometrischen Mittel (AGM)
- Hilfssatz
- Beispiel
-
Kapitel 2: Folgen und Reihen
- 2.1 Konvergente Folgen
- 2.1.1 Definition: Folge
- 2.1.2 Bemerkungen
- 2.1.3 Rechenregeln für konvergente Folgen
- 2.1.4 Beispiele
- 2.2 Monotone Folgen
- 2.2.1 Definition
- 2.2.2 Monotoniekriterium
- 2.2.3 Aufgabe
- 2.2.4 3 Beispiele
- 2.3 Teilfolgen
- 2.3.1 Definition
- 2.3.2 Beispiele
- 2.3.3 Satz von Bolzano-Weierstraß
- 2.3.4 Cauchysches Konvergenzkriterium
- 2.3.5 Definition: Limes superior, Limes inferior
- 2.3.6 Bemerkungen
- 2.3.7 Beispiel
- 2.3.8 Rechenregeln
- 2.3.9 Ergänzungen
- 2.3.10 Satz
- 2.4 Unendliche Reihen
- 2.4.1 Definiton
- 2.4.2 Beispiel: Die geometrische Reihe
- 2.4.3 Beispiel: Teleskopsumme
- 2.4.4 Beispiel: erweiterte Teleskopsumme
- 2.4.5 Satz über den Reihenrest
- 2.4.6 Cauchykriterium
- 2.4.7 Beispiel: Die harmonische Reihe
- 2.4.8 Hilfssatz: Abelsche partielle Summation
- 2.4.9 Dirichlet-Kriterium
- 2.4.10 Leibniz-Kriterium
- 2.4.11 Die alternierende harmonische Reihe (1)
- 2.4.12 Rechenregeln für konvergente Reihen
- 2.4.13 Die alternierende harmonische Reihe (2)
- 2.5 Absolute Konvergenz
- 2.5.1 Definition
- 2.5.2 Satz
- 2.5.3 Majorantenkriterium
- 2.5.4 Wurzelkriterium
- 2.5.5 Quotientenkriterium
- 2.5.6 Beispiele
- 2.5.7 Satz
- 2.5.8 Satz
- 2.6 Mehrfachreihen
- 2.6.1 Definition
- 2.6.2 Beispiel
- 2.6.3 Folgerung
- 2.6.4 Umordnungssatz
- 2.6.5 Hilfssatz
- 2.6.6 Definition
- 2.6.7 Großer Umordnungssatz
- 2.6.8 Spezialfall: Doppelreihensatz
- 2.6.9 Beispiele
- 2.6.10 Reihenmultiplikation/Cauchyprodukt
- 2.6.11 Beispiel
-
Kapitel 3: Grenzwert und Stetigkeit
- 3.1 Grenzwerte bei Funktionen
- 3.1.1 Definition
- 3.1.2 Bemerkungen
- 3.1.3 Folgenkriterium
- 3.1.4 Rechenregeln
- 3.1.5 Beispiele
- 3.1.6 Einseitige Grenzwerte
- 3.1.7 Satz
- 3.1.8 Monotone Funktionen
- 3.1.9 Satz
- 3.1.10 Cauchykriterium
- 3.2 Stetigkeit
- 3.2.1 Definition
- 3.2.2 Rechenregeln
- 3.2.3 Beispiele
- 3.2.4 Satz vom Minimum und Maximum
- 3.2.5 Nullstellensatz
- 3.2.6 Zwischenwertsatz
- 3.2.7 Bemerkung
- 3.2.8 Beispiele
- 3.2.9 Satz über die Umkehrfunktion
- 3.2.10 Definition: gleichmäßige Stetigkeit
- 3.2.11 Bemerkungen und Beispiele
- 3.2.12 Satz von Heine
- 3.3 Gleichmäßige Konvergenz
- 3.3.1 Definition: Punktweise und gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen
- 3.3.2 Beispiele
- 3.3.3 Satz
- 3.3.4 Satz
- 3.3.5 Cauchykriterium
- 3.3.6 Majorantenkriterium
- 3.3.7 Beispiele
- 3.4 Potenzreihen
- 3.4.1 Definition: Potenzreihe
- 3.4.2 Satz, Konvergenzradius
- 3.4.3 Satz
- 3.4.4 Bemerkungen und Beispiele
- 3.4.5 Satz: Summe und Produkt von Potenzreihen
- 3.4.6 Identitätssatz
- 3.4.7 Beispiele
- 3.4.8 Satz über die Verknüpfung von Potenzreihen
- 3.4.9 Beispiel
- 3.4.10 Satz über das Reziproke einer Potenzreihe
- 3.4.11 Beispiel
- 3.4.12 Umentwickeln von Potenzreihen
- 3.4.13 Beispiel
- 3.4.14 Abelscher Grenzwertsatz
- 3.5 Exponentialfunktion und Logarithmus
- 3.5.1 Definition der Exponentialfunktion
- 3.5.2 Satz: eigenschaften der Exponentialfunktion
- 3.5.3 Definition des Logarithmus
- 3.5.4 Satz
- 3.5.5 Bemerkung
- 3.5.6 Definition von ex für x∈R
- 3.5.7 Hyperbolische Funktionen
- 3.6 Die trigonometrischen Funktionen
- 3.6.1 Definitionen und Satz
- 3.6.2 Hilfssatz
- 3.6.3 Die Zahl π
- 3.6.4 Einfache Eigenschaften von Sinus und Cosinus
-
Kapitel 4: Differentialrechnung
- 4.1 Differenzierbare Funktionen
- 4.1.1 Definition
- 4.1.2 Bemerkungen und Beispiele
- 4.1.3 Differentiationsregeln
- 4.1.4 Umformung der Definition
- 4.1.5 Kettenregel
- 4.1.6 Beispiele
- 4.1.7 Differenzierbarkeit der Umkehrfunktion
- 4.1.8 Beispiele
- 4.1.9 Höhere Ableitungen
- 4.1.10 Leibnizregel
- 4.2 Die Mittelwertsätze der Differentialrechnung
- 4.2.1 Definition: Minimum, Maximum
- 4.2.2 Bemerkung
- 4.2.3 Satz von Rolle
- 4.2.4 Mittelwertsatz der Differentialrechnung
- 4.2.5 Beispiele
- 4.2.6 Satz
- 4.2.7 Satz
- 4.2.8 Aufgabe
- 4.2.9 Verallgemeinerter Mittelwertsatz
- 4.2.10 Regel von de l'Hôspital
- 4.2.11 Beispiele
- 4.3 Anwendungen der Differentialrechnung
A Monotone Funktionen
- 4.3.1 Satz
- 4.3.2 Beispiel
B Konvexe Funktionen
- 4.3.3 Definition: konvex
- 4.3.4 Satz
- 4.3.5 Satz
C Die Arcusfunktionen
- 4.3.6 Arcustangens
- 4.3.7 Arcuscotangens
- 4.3.8 Arcussinus
- 4.3.9 Arcuscosinus
D Differentiation und gleichmäße Konvergenz
- 4.3.10 Beispiel
- 4.3.11 Satz
- 4.3.12 Folgerungen
- 4.3.13 Beispiele
- 4.4 Der Satz von Taylor
- 4.4.1 Beispiele
- 4.4.2 Hilfssatz
- 4.4.3 Definition: Das Taylorpolynom
- 4.4.4 Bemerkung
- 4.4.5 Satz von Taylor
- 4.4.6 Beispiele
- 4.5 Extremwertrechnung
- Definition: relatives Minimum/Maximum
- Satz
- Satz
- Beispiele
-
Kapitel 5: Das Riemannsche Integral
- 5.1 Darbouxsche Summen
- 5.2 Riemannsche Summen
- 5.3 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
- 5.4 Integration von rationalen Funktionen
- 5.5 Uneigentliche Integrale
-
Kapitel 6: Komplexe Zahlen und Funktionen
- 6.1 Komplexe Zahlen
- 6.2 Folgen und Reihen
- 6.3 Konvergenz und Stetigkeit
- 6.4 Trigonometrische Reihen
- 6.5 Fourierreihen
- 6.6 Konvergenz- und Approximationssätze
-
Kapitel 7: Metrische Räume
- 7.1 Der euklidische Raum
- 7.2 Topologische Grundbegriffe
- 7.3 Offene Mengen
- 7.4 Folgen
- 7.5 Abgeschlossene Mengen
- 7.6 Kompakte und stetige Räume
- 7.7 Stetige Funktionen
- 7.8 Mehr über stetige Funktionen
- 7.9 Zusammenhang
- 7.10 Gleichgradige Stetigkeit
-
Kapitel 8: Mehrdimensionale Differentialrechnung
- 8.1 Matrizen und quadratische Formen
- 8.2 Differenzierbare Funktionen
- 8.3 Partielle Ableitungen
- 8.4 Höhere Ableitungen
- 8.5 Implizite Funktionen und Umkehrfunktionen
- 8.6 Extrema mit Nebenbedingungen
-
Kapitel 9: Kurvenintegrale
- 9.1 Riemann-Stieltjes Integrale
- 9.2 Funktionen von endlicher Variation
- 9.3 Wege und Weglängen
- 9.4 Kurvenintegral
- 9.5 Kurvenintegrale und Stammfunktionen
-
Kapitel 10: Das Lebesgue-Integral
- 10.1 Nullmengen und Treppenfunktionen
- 10.2 Meßbare und integrierbare Funktionen
- 10.3 Konvergenzsätze
- 10.4 Der Satz von Fubini
- 10.5 Meßbare Mengen
- 10.6 Die Transformationsformel
- 10.7 Parameterintegrale
- 10.8 Das eindimensionale Lebesgue-Integral
-
Kapitel 11: Vektoranalysis
- 11.1 Der Gaußsche Integralsatz im R2
- 11.2 Flächen im R3
- 11.3 Integralsätze (Gauß, Stokes) im R3
- 11.4 Differentialformen
- 11.5 Flächen und Mannigfaltigkeiten
- 11.6 Der Integralsatz von Stokes
- 11.7 Oberflächenmaße
-
Kapitel 12: Fourierreihen und -transformationen
- 12.1 Lp-Räume
- 12.2 Die Fouriertransformation
Diverses anderes
Hier noch eine kleine Statistik: Alle Quell-Dateien, die in
diesem Skript eingesetzt werden umfassen 18640 Zeilen mit
6951593 Zeichen (Stand: 02/2006)
Vielen Dank an alle, die mir ihre Korrekturen mitgeteilt haben.
1994-1999,2002,2004-2006 für diese mit TeX gesetzte Version bei Thomas
Leineweber. Die Vorlesung mit allen ihren Inhalten selber stammt von
Prof. Steinmetz
Thomas Leineweber, 12.11.2006
Kontakt: per Email an analysis (at) tleine (dot) de
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